| Sejtautomaták, mozaikrácsok
A SZIMMETRIA ÉS A SEJTAUTOMATA MOZAIK-RENDSZER KAPCSOLATÁRÓL (Bérczi Szaniszló: cikkrészlet az iskolakultúrában 1992-ben megjelent cikk alapján) A sejtautomata megnevezés olyan fogalmi gépezetet jelöl, amely hasonlít a Descartes koordináták használatához. Ebben is, abban is, elődeink által megformált segédeszközökből áll össze egy leírási forma. A Descartes koordináták merev leírási hátteret képeznek, amely háttér elott bizonyos változások (például helyzetváltozások) jól leírhatók. A sejtautomatáknál ez a háttér nem merev. A modellbeli eseményleírás olyan sejtháttéren történik, amely már eredendően is sok változatosságot rejt magában. Ahogyan a képi névadás is jól érzékelteti, a sejtautomaták "hátterét" sejtek képezik. A sejtsokaság belső változatossága, például a deformálhatósága, része a háttérnek, és ez a háttérmozgás rendezett. A háttér a sejtekbe épített, de egységes belső eseménysort teljesíthet: e változásokban a szomszédsági viszonyoktól való függés is fontos szerephez juthat. Mindezek a szabályok első sugallatra is gazdag cselekvoképességű rendszert és változási leírást sejtetnek. A sejtautomata gépezetet egyszerű építkezési tevékenység során mutatjuk be. Jelenségháttér A sejtautomaták szemcsékből, sejtekből összetevődő, rendezett EGÉSZnek (pl. egy felületnek) a sejtváltozásaiban megnyilvánuló állapotváltozásait írják le. Maga a jelenség meglehetősen távol esik hétköznapjainktó, mégsem ritka. Nemcsak a gyakorisága, hanem a megjelenési sajátosságai miat is tekintsük az 1. ábrát. Ezen, a háromszögdiagramok keverési szabályai szerint, három sarkalatos jelenségtípus keverékeit ábrázoltuk néhány reprezentánssal. A föltüntetett jelenségek érzékeltetik azt, hogy milyen jelenségsoron jutunk el egy másik sarkalatos tulajdonságú jelenséghez; a tulajdonságok a szomszédos jelenségeken át haladva csak kicsit változnak, mégis gyökeresen mások lesznek a sarokba jutva. A három tulajdonság: merev-kemény, darabos-szemcsés és gyűrt-lágy, olyan, hogy rájuk alapozva egyúttal különféle matematikai tudományágak jutnak eszünkbe, melyek kidolgozták, fölhasználták az adott tulajdonságú anyagokon alapuló szemléletünket is. Végigtekintve a fölvázolt jelenségtérképen, láthatjuk, hogy az a tartomány, amely valamennyire (időlegesen) merev, nyengén deformálható és szemcsés, a térkép közepén helyezkedik el. Habok, formálódó növények és embriók világa ez. Hosszasabb magyarázat helyett ez a fölvázolás is érzékelteti azt, hogy a sejtautomata modellezés jelenségköre létező és gazdag a természetben. Ez az utalás mozgósítja majd szemléletünket. Mert a sejtautomata modell ezzel az újszerű fogalomkombinációval szokatlan. Természeti alapjelenségek modellezésével, alapoktól való építkezéssel 18 éves fejlesztés eredményeként négyféle jelenségkörben építettem föl ezt a leírásmódot, amely a szimmetriáktól vezet el a sejtautomatákhoz. Fölhasználtam az előttünk járó gondolkodók néhány fejlesztését is, ha más irányból közelítettek is a fogalomkörhöz. A sejtautomata megnevezés Stanislaw Ulamtól és Neumann Jánostól származik. Az ő konstrukciójuk máshonnan indulva máshova ért el, de a fogalomcsomópontok sokmindenben egyezoek. Építkezésünket rendező elvekkel indítjuk. Így néhány erőteljes lépéssel eljutunk a sejtautomata konstrukcióhoz. Rendező elvek Mikor egy változást leírunk, előre el kell képzelnünk a folyamat lényeges vonásait, s ezeket meg kell neveznünk már kialakult fogalmakkal. Most egy szabad szemmel meg nem figyelhető változás leírására készülünk. Tudjuk, hogy nem lehetünk folyamatosan jelen a változások idején, ezért az első elvben azt az elvárásunkat rögzítjük, hogy mégis használható képhez akarunk jutni a folyamatról akkor is, ha csak bizonyos pillanatait, fázisait rögzíthetjük. Igen ritkán megfogalmazott, ősi, és mégis gyakran használt elv ez: a Változást fázisaival elv. Élményszinten hétköznapi megfigyeléseinkből sokat kiválogathatunk mellé. A folytonos mozgást például egy villogó fénnyel fázisaira szaggathatjuk (stroboszkópia), vagy elemi képek sorozatából, például rajzfilmek készítésekor összerakhatjuk. Erre az állóképekkel történő mozgásleírásra tudatosan törekszünk minden olyan esetben, amelyet napi szemlélettel, vagy az emberöltő hosszával követni nem tudunk. (Bérczi Sz. Anyagtechnológia I. 1985. Ilyen folyamatok foleg a biológiában és a geológiában gyakoriak, s a technológiák területén is szinte hétköznapiak.) A második elv a szimmetria. Ebben az elvben két "rétegnek" a rendezett kapcsolatát fogalmazzuk meg tömören. Az egyik "réteg" maga az EGÉSZ, amely rendezetten épül föl a másik "réteget" képezo ELEMEKből. A klasszikus szimmetria elv az ELEMEKnek azokat a belső átrendezodéseit összegzi, amelyek az EGÉSZt változatlanul hagyják. (Weyl). Ezek közül majd kiválaszhatók lesznek azok, amelyek az ELEMEK szomszédsági viszonyai alapján is megfogalmazhatók és ezért az ELEMEKet fölcserélő műveletek körén belül egy szűkebb csoportot képeznek. A szimmetria elv tehát olyan rRÉSZ-EGÉSZ kapcsolat, amelyben legalább két hierarchiaszint megjelenik, és a RÉSZ-EGÉSZ kapcsolat egy része az ELEMEK (RÉSZEK) szomszédsági viszonyaival értelmezhető. A harmadik elv részben az elozo ketto ötvözete: nevezhetjük most SEJTAUTOMATA-ELVnek. Egybevágó SEJTEKből, (mint ELEMEKből) álló mozaikrácson (mint EGÉSZen) írunk le állapotváltozást fázisaival. Az állapotváltozás leírása mind az egyes sejtek szintjén, mind a sejtmozaikrács, vagyis az EGÉSZ szintjén megtörténik. A szimmetria elv biztosítja a szerkezet kétrétegűségét (tehát a sejtek szintjén lokális, az egész szintjén globális szerkezetadást), a változást fázisaival elv pedig az időben diszkrét, tehát időlépésenként történő mozgásleírást. (2.ábra.) Összefoglaljuk a szimmetriához kapcsolódó alapvonásait a sejtautomata mozaikoknak:. 1. Ismétlődő, egybevágó elemekből épül föl az egész, rendezett módon. 2. E rendezettség az elemektől nyúlik föl az egészig, s így az elemek szintje és az egész szintje két, nyilvánvalóan különböző hierarchiaszint. 3. Az ilymódon fölépülő egészek egy csoportja valamilyen jól meghatározható szempontból hasonló. Ezen egészek közötti hasonlóság azon alapul, hogy a. vagy a peremfeltétel (a sejtmozaik
sokaság felülettípusa, alakja),
c. vagy a rendezettség szomszédsági viszonyai, d. vagy ezek mind együttesen mind lényegileg azonosak ezen egészek, mint alakzatrendszerek esetében. 4. Ekkor található olyan művelet, amely összekapcsol legalább két egészt, (két alakzatrendszert). 5. Ha ez az összekapcsoló művelet olyan tulajdonságú is, hogy a hasonló alakzatrendszerek mindegyikét párokba kapcsolja, akkor a párokba illeszkedő alakzatrendszerek állapotváltozási sorozatba rendezhetők. 6. Ekkor viszont az átalakulási műveletsor fölirható a megadott sejtautomatákat leíró formalizmussal: a. lokális átmeneti függvényekkel,
és
Rövid emlékeztető a szemléletes leírásról: Strukturaépítés "alulról" és "felülről" Kanyarodjunk vissza a koordinátarendszerrel dolgozó Descart-féle szemlélethez, s járjuk be ismét, röviden, élményszerűen a megtett utat. Minthogy a bemutatott a bemutatott sejtautomata mozaik-rendszer az egészeket (pl. a testeket) felületre kirakott mozaiknak is veszi, olyan érzésünk is támadhat, hogy a felület maga - gömbi mozaikoknál például a gömb - a mozaikrendszer "zsaluzata". A zsaluzaton azt értjük, hogy a gömb előre el van készítve, s rajta csak "cserélgetjük" a mozaikelrendezéseket. A sejtautomata rendszer építése során azonban másként alakul a "zsaluzat", (vagyis az EGÉSZ), és az "építőelemek", (vagyis a SEJTek) kapcsolata. Az építés, valójában átépítés, valóban a sejthálózaton történik, de a sejtek adják ki az egészt, a "zsaluzat" oda előre nem kell, hogy megépítve legyen. Mindig a SEJT-ek adják ki az EGÉSZt, s nem a háttér megépítése, hanem az átépítésnek a sejtek szomszédsági viszonyaival való megfogalmazása a feladat. Ez az a forma, amit ha sikeresen töltünk ki, a sejtautomata leírás közös nyelvét használjuk. Ha meg tudjuk úgy fogalmazni az átépítést a lokális átmeneti függvényben, hogy az egyes sejtek belso "tennivalójaként" jelenjék meg, akkor ezek az egyenkénti cselekvések, lépésrol lépésre kiadják az EGÉSZ teljes felületi mozaikrendszer-változásait, az átalakulási sort. A zsaluzat látványa csak megszokás, nincsen rá szükség. Ugyanúgy, mint a modernebb függvényfogalomban, (Lásd. Bérczi, A függvény: Falevél-ér és DNS-szál, Polygon, 1994, 79. o.) ahol két halmazból válogatjuk össze az összetartozó pontpárokat (DNS szál hasonlat), s ehhez nem szükséges az elore megszott pontpár-mező (falevél-ér hasonlat). S ez világít rá egy másik fontos szempontra is. Ez pedig az, hogy az építkezést alulról és felülről, tehát mindkét hierarchiaszinten, egyszerre végezzük. Alulról az ismétlődő ELEMek kombinációs lehetőségeivel (belső programjával, például: illesztések), s felülről, a forma, a topológiai szerkezet (példánkban a gömb, máshelyütt a Möbius-szalag, tórusz, Klein kancsó, Bérczi, 1990.) által az elemkapcsolatokra bocsátkozó kényszerrel (szabályosság kényszere, csúcsokra, lapokra, felületkitöltésre, stb.) Amiket szimmetria leírásnál egy mozaiknál adottnak tekintünk, azt most, a kétszintes építkezésben kezdeti feltételként is, illeszteni kell. (pl. Organisational Constraints... Vida G., Maynard-Smith, 1987.) A sejtautomata modell szerinti "kétrétegu" leírásnak ez az evolúció szempontjából is hasznosítható következménye elgondolkodtató. A sejteket átalakító műveleteknek és a sejtrendszert hordozó felületnek ("zsaluzatnak") az összehangoltsága figyelemre méltó. Ha a jelenségtérképen bemutatott sejtautomata leírhatóságú tartományra gondolunk, ott foleg növényeket és embriókat találunk. Hosszú fejlődés eredménye pl. a növényeken egy felületi szerkezetnek, (magvak, pikkelyek, levelek, virágzatok) Fibonacci szerkezetű létrejötte. A szerkezetnek a sejtautomata modellben visszaadott lokális-globális összehangoltsága a formaalakító kényszerek, a hosszú evolúciós visszacsatolási alkalomsor, és több, ma még nem ismert fejlődési törvény eredménye. Az ilyen jelenségeknek sejtautomata modellű leírásában az ELEM ill. EGÉSZ párhuzamos és visszacsatolásos fejlődése gazdagabb lehetőségeket kínál, mint a hagyományos, merev koordinátahátterű. A sejtek itt egyszerre szereplői és feltételei a sejtmozaik rendszer átalakulásának, vagy továbbépülésének. Ezt fölismerve már túl leegyszerűsített képnek is tunik a zsaluzat-hasonlat. A zsaluzat egy kiindulási helyzet rögzítése, amikor még minden áll. De a beton helyébe lépő sejtegyüttes megelevenedése szétfeszíti a zsaluzati szemlélet kereteit. A külső alak együtt épül a sejtek változásaival, a növekvő toboznak, a kinyíló virágnak nem modellje már a merev öntőforma. A növényi rácsnak lényegi vonása, hogy alakja, mérete, és rácsmozaik rendje is változik a növekedés során. A sejtautomata modell ilyen dinamikával jellemezhető természeti jelenségekre alkalmazható majd. Irodalom Bérczi Sz. (1976): Növényi szimmetriák. Fizikai Szemle, 26, 2.szám. 59-62. Bérczi Sz. (1979): A szabályos és féligszabályos (platoni és archimedészi) testek és mozaikok periódusos rendszere. Középiskolai Matematikai Lapok. 59.5.sz. 193-199.old. Bérczi Sz. (1980): The Periodic System of Platonic and Archimedean Solids and Tessellations. Acta Geologica Acad. Sci. Hung. 23. No. 1-4. pp. 184-200. Bérczi Sz. (1982): H. Weyl: Symmetry c. könyvének fordítása (társford. Seres I.) és két függelék a magyar kiadáshoz A Fibonacci számokkal jellemezhető növényi rácsok közös eredete és A szabályos és félig szabályos testek és mozaikok táblázatos összefoglalása címmel. Gondolat, Budapest. Bérczi Sz. (1985): Anyagtechnológia I. Egyetemi jegyzet. J3-1333. Tankönyvkiadó, Budapest. Bérczi Sz. (1985): Symmetries in the plant surface lattice systems: Development of Fibonacci numbered structure in a cellular automaton model. Lect. on Intuitive Geometry Conference, Balatonszéplak, 1985 május. Bérczi Sz. (1990): Symmetry Constraints in Development and Evolution of Fibonacci Plants. (in: Proceedings in Non Linear Science (IV). Organizational Constraints on the Dynamics of Evolution. J. Maynard-Smith, G. Vida eds.) Manchester University Press, Manchester Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és Struktúraépítés. Egyetemi jegyzet. J3-1441. Tankönyvkiadó, Budapest Bérczi Sz. (1990): Local and Global Model of Fibonacci Plant Symmetries. (In: Symmetries in Science IV.: Biological and Biophysical Symmetries. B.Gruber, J.H.Yopp, Eds.) Plenum Press, New York Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és Topológia: Rácsátrendezodések a Möbius-szalag --Tórusz transzformáció során. Természet Világa, 1990/10. 464-466. Bérczi Sz. Lukács B., Molnár I. (1991): On Symmetry and Topology of the Organisms in Macroevolution. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérczi, I. Molnár, Gy. Paál, Eds.) p.73-79.. MTA-KFKI-1991-32/C. Budapest. Bérczi Sz. (1991): Platonic-Archimedean Spherical Cellular Automata in the Solution of the Indirect Von-Neumann Problem on Sphere for Transformations of Regular Tessellations. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérczi, I. Molnár, Gy. Paál, Eds.) p.111-116. MTA-KFKI-1991-32/C. Budapest Bérczi Sz. (1991): Symmetry and Topology in a "Cell-Mosaic-Automata" Model of the Fibonacci-Plant Structures. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérczi, I. Molnár, Gy. Paál, Eds.) p.80-90. MTA-KFKI-1991-32/C. Budapest Bérczi Sz.: Symmetry by Cellular Automata. Lect. on Intuitive Geometry Conference. Szeged, 1991 szeptember. Bérczi Sz. (1991): Symmetry Changes by Cellular Automata in Transformations of Closed Double-Threads and Cellular Tubes with Möbius-Band, Torus, Tube-Knot and Klein-Bottle Topologies. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérczi, I. Molnár, Gy. Paál, Eds.) p.29-41. MTA-KFKI-1991-32/C. Budapest. Bérczi Sz. (1992): The Indirect Von-Neumann Problem: Deciphering of the Local Transformations from the Global Ones of the Systems Structurally Determined by the Both Hierarchy Levels of Their Symmetry. (In: Mutual Dynamics of Organizational Levels in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérczi, E. Lábos, I. Molnár, Eds.) p. 40-49. MTA-KFKI-1992-32/C. Budapest. Bérczi Sz. (1991): Kristályoktól Bolygótestekig. 210.old. Akadémiai Kiadó, Budapest Bérczi Sz. (1993): Symmetry and Topology in Cellular Automatic Transformations, The Solution of the Indirect Von Neumann Problem for the Transfiguratuions of Cylindrical Cell.Mosaic systems of Fibonacci Plants. Abstracta Botanica. 17.(12.).Budapest Boltyánszkíj, V.G., Jefremovics, V.A. (1965): Szemléletes topológia. 4. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest Codd, E.F. (1968): Cellular Automata. Academic Press, New York Gévay G. (1992): Icosahedral morphology. (In: Fivefold Symmetry, I. Hargitai, ed.) World Scientific, Songapore Peák I. (1980): Bevezetés az automaták elméletébe, I.. egyetemi jegyzet, J3-1115. Tankönyvkiadó, Budapest Shannon, C.E. (1965): Számológépek és automaták. (In: A kibernetika klasszikusai, Studium-30.) Gondolat, Budapest Takács V.D. (szerk.): (1978): Sejtautomaták. Gondolat, Budapest Vollmar, R. (1982): Sejtautomata
algoritmusok. Muszaki könyvkiadó, Budapest
|